引理：对任意整数a，a(a+1)必为偶数。 证明：若a是偶数，则a(a+1)是偶数；若a是奇数，则a+1是偶数，所以a(a+1)是偶数。 假设2006可以表达成10个奇数的平方和，则存在整数a1,a2,...,a10使得 (2a1+1)^2+(2a2+1)^2+...+(2a10+1)^2=2006 展开得 (4a1^2+4a1+1)+(4a2^2+4a2+1)+...+(4a10^2+4a10+1)=2006 整理得 4[(a1^2+a1)+(a2^2+a2)+...+(a10^2+a10)]=2006-10=1996 所以 a1(a1+1)+a2(a2+1)+...+a10(a10+1)=1996/4=449。 而由上面引理，每个ai(ai+1)都是偶数，所以和也是偶数，不可能等于449。所以假设不成立。证毕。
2006不能表示为10个奇数的平方之和.证明：
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